Tâm trí con người không thể thấu hiểu sự liên tục tuyệt đối của chuyển động. Các quy luật về mọi loại chuyển động chỉ trở nên dễ hiểu khi con người xem xét những yếu tố được chọn một cách tùy tiện từ chuyển động đó; tuy nhiên, phần lớn sai lầm của con người lại xuất phát từ việc chia cắt tùy tiện chuyển động liên tục thành các yếu tố rời rạc. Có một nghịch lý nổi tiếng của người xưa rằng Achilles không bao giờ đuổi kịp con rùa, dù chạy nhanh gấp mười lần nó. Khi Achilles vượt qua khoảng cách ngăn cách mình với con rùa, thì con rùa đã tiến thêm một phần mười quãng đường đó; khi Achilles vượt tiếp một phần mười ấy, con rùa lại tiến thêm một phần trăm nữa, và cứ thế mãi mãi. Người xưa coi đây là bài toán không có lời giải. Câu trả lời vô lý (rằng Achilles không bao giờ vượt được con rùa) bắt nguồn từ chỗ: chuyển động bị chia cắt tùy tiện thành các yếu tố rời rạc, trong khi chuyển động của cả Achilles và con rùa đều liên tục.
Bằng cách chọn các yếu tố chuyển động ngày càng nhỏ hơn, chúng ta chỉ tiếp cận gần hơn đến lời giải chứ chưa bao giờ đạt được nó. Chỉ khi chấp nhận khái niệm về cái vô cùng nhỏ, cùng với cấp số nhân có công bội là một phần mười, và tìm ra tổng của cấp số này đến vô cùng, chúng ta mới giải được bài toán.
Một ngành toán học hiện đại đã đạt được nghệ thuật xử lý những đại lượng vô cùng nhỏ, nhờ đó có thể đưa ra lời giải cho những vấn đề phức tạp khác về chuyển động mà trước đây từng được coi là không thể giải quyết.
Ngành toán học hiện đại này, điều mà người xưa không biết đến, khi giải quyết các bài toán về chuyển động đã chấp nhận khái niệm về cái vô cùng nhỏ. Do đó, nó phù hợp với điều kiện tiên quyết của chuyển động (sự liên tục tuyệt đối), nhờ vậy sửa chữa được sai lầm tất yếu mà trí tuệ con người khó tránh khỏi khi xử lý các yếu tố riêng biệt thay vì xem xét chuyển động liên tục.
Khi tìm kiếm các quy luật của chuyển động lịch sử, điều tương tự cũng xảy ra. Chuyển động của nhân loại, vốn nảy sinh từ vô số ý chí con người tùy tiện, là một chuyển động liên tục.
Mục đích của lịch sử là hiểu được các quy luật của chuyển động liên tục này. Nhưng để đạt được các quy luật này – vốn là kết quả từ tổng hòa của tất cả những ý chí con người đó – trí tuệ con người lại đặt ra những đơn vị tùy tiện và rời rạc. Phương pháp đầu tiên của lịch sử là chọn một chuỗi sự kiện liên tục một cách tùy tiện và xem xét nó tách biệt với những sự kiện khác, dù thực tế không bao giờ có sự khởi đầu cho bất kỳ sự kiện nào, vì một sự kiện luôn tuôn chảy không ngừng nghỉ từ một sự kiện khác.
Phương pháp thứ hai là coi hành động của một người nào đó – một vị vua hay một vị tướng – là tương đương với tổng hòa của nhiều ý chí cá nhân; trong khi đó, tổng hòa của các ý chí cá nhân không bao giờ được biểu hiện qua hành động của một nhân vật lịch sử đơn lẻ.
Khoa học lịch sử, trong nỗ lực tiến gần hơn đến chân lý, liên tục chọn những đơn vị nhỏ dần để xem xét. Nhưng dù đơn vị có nhỏ đến đâu, chúng ta vẫn cảm thấy rằng việc lấy bất kỳ đơn vị nào tách biệt khỏi những đơn vị khác, hoặc giả định một điểm khởi đầu cho bất kỳ hiện tượng nào, hay nói rằng ý chí của nhiều người được thể hiện qua hành động của một nhân vật lịch sử, thì bản thân điều đó đã là sai lầm.
Chẳng cần phải nỗ lực phê phán nhiều cũng có thể đập tan mọi suy diễn rút ra từ lịch sử. Chỉ cần chọn một đơn vị lớn hay nhỏ làm đối tượng quan sát – điều mà phê bình hoàn toàn có quyền làm, vì bất cứ đơn vị nào mà lịch sử quan sát đều luôn luôn được chọn một cách tùy tiện.
Chỉ bằng cách chọn những đơn vị vô cùng nhỏ để quan sát (vi phân của lịch sử, tức là những khuynh hướng cá nhân của con người) và đạt đến nghệ thuật tích phân chúng (tức là tìm ra tổng của những đại lượng vô cùng nhỏ này), chúng ta mới có thể hy vọng tìm ra các quy luật của lịch sử.
Mười lăm năm đầu thế kỷ mười chín ở châu Âu đã chứng kiến một sự chuyển động phi thường của hàng triệu người. Con người rời bỏ công việc thường nhật, hối hả chạy từ bên này sang bên kia châu Âu, cướp bóc và tàn sát lẫn nhau, chiến thắng và chìm trong tuyệt vọng. Trong vài năm, toàn bộ dòng chảy cuộc sống bị thay đổi và thể hiện một sự chuyển động mãnh liệt, lúc thì tăng lên, lúc lại chậm lại. Nguyên nhân của sự chuyển động này là gì, và nó bị chi phối bởi những quy luật nào? Trí tuệ con người tự hỏi như vậy.
Các nhà sử học, khi trả lời câu hỏi này, bày ra trước mắt chúng ta những lời nói và hành động của vài chục con người trong một tòa nhà ở thành phố Paris, gọi những lời nói và hành động đó là "Cách mạng"; sau đó, họ viết tiểu sử chi tiết về Napoleon và một số nhân vật ủng hộ hay chống đối ông ta; kể về ảnh hưởng của những người này đối với nhau, và kết luận: đó là lý do tại sao sự chuyển động này diễn ra và đó là những quy luật của nó.
Nhưng trí tuệ con người không chỉ từ chối tin vào lời giải thích này, mà còn khẳng định rõ ràng rằng phương pháp giải thích đó là sai lầm, bởi trong đó một hiện tượng yếu hơn lại bị coi là nguyên nhân của một hiện tượng mạnh hơn. Tổng hòa ý chí con người đã tạo ra Cách mạng và Napoleon, và chỉ có tổng hòa của những ý chí đó ban đầu mới dung thứ, rồi sau đó mới tiêu diệt họ.
"Nhưng mỗi khi có các cuộc chinh phạt thì đều có những kẻ chinh phạt; mỗi khi có một cuộc cách mạng trong bất kỳ quốc gia nào thì đều có những vĩ nhân," lịch sử nói vậy. Và thực ra, lý trí con người đáp lại: mỗi khi các kẻ chinh phạt xuất hiện thì đều có các cuộc chiến tranh, nhưng điều này không chứng minh rằng những kẻ chinh phạt đã gây ra chiến tranh, và rằng có thể tìm thấy các quy luật của một cuộc chiến trong hoạt động cá nhân của một con người. Mỗi khi tôi nhìn vào đồng hồ và kim chỉ mười giờ, tôi nghe thấy tiếng chuông nhà thờ gần đó; nhưng vì tiếng chuông bắt đầu vang lên khi kim đồng hồ chỉ mười giờ, tôi không có quyền cho rằng chuyển động của tiếng chuông là do vị trí của kim đồng hồ gây ra.
Mỗi khi nhìn thấy sự chuyển động của đầu máy xe lửa, tôi nghe thấy tiếng còi và nhìn thấy các van mở ra, bánh xe quay; nhưng tôi không có quyền kết luận rằng tiếng còi và sự quay của bánh xe là nguyên nhân dẫn đến chuyển động của đầu máy.
Người nông dân bảo rằng gió lạnh thổi vào cuối xuân là do cây sồi đâm chồi, và thực tế cứ mỗi mùa xuân, gió lạnh đều thổi khi cây sồi đâm chồi. Nhưng dù tôi không biết nguyên nhân nào khiến gió lạnh thổi khi chồi sồi nở, tôi không thể đồng ý với người nông dân rằng việc chồi sồi nở là nguyên nhân gây ra gió lạnh, vì sức gió nằm ngoài ảnh hưởng của những chồi cây. Tôi chỉ thấy sự trùng hợp của các sự kiện như vẫn thường xảy ra với mọi hiện tượng trong đời sống, và tôi nhận thấy rằng dù tôi có quan sát kim đồng hồ, van và bánh xe của đầu máy, hay cái cây sồi cẩn thận và nhiều đến đâu, tôi cũng sẽ không khám phá ra nguyên nhân tiếng chuông reo, đầu máy chuyển động, hay những cơn gió xuân. Về điểm này, tôi phải thay đổi hoàn toàn quan điểm của mình và nghiên cứu các quy luật chuyển động của hơi nước, của tiếng chuông và của ngọn gió. Lịch sử cũng phải làm như vậy. Và những nỗ lực theo hướng này đã bắt đầu được thực hiện.
Để nghiên cứu các quy luật của lịch sử, chúng ta phải thay đổi hoàn toàn đối tượng quan sát, phải gạt sang bên các vị vua, các bộ trưởng và các tướng lĩnh, để nghiên cứu những yếu tố thông thường, nhỏ bé vô cùng, nhờ đó mà quần chúng được vận động. Không ai có thể nói con người có thể tiến xa đến đâu theo con đường này để thấu hiểu các quy luật của lịch sử; nhưng rõ ràng chỉ trên con đường đó mới có khả năng khám phá ra các quy luật của lịch sử, và cho đến nay, các nhà sử học đã không bỏ ra dù chỉ một phần triệu nỗ lực trí tuệ theo hướng này so với nỗ lực mà họ đã dành ra để mô tả hành động của các vị vua, các chỉ huy, các bộ trưởng và để đưa ra những suy ngẫm của riêng mình về những hành động đó.
