Phương pháp vòng tròn có tên đầy đủ là "Phương pháp Hardy-Littlewood", không chỉ là công cụ quan trọng để nghiên cứu giả thuyết Goldbach, mà còn là công cụ quan trọng thường được dùng trong lý thuyết số giải tích.

Về việc phát minh ra công cụ này, vốn không xuất phát từ bài toán Goldbach. Quan điểm hiện được giới toán học thừa nhận rộng rãi là khái niệm này xuất hiện lần đầu tiên khi Hardy nghiên cứu vấn đề "phân tích tiệm cận về phân hoạch số nguyên" cùng với Ramanujan, sau đó được bổ sung hoàn chỉnh khi Hardy hợp tác với Littlewood để nghiên cứu bài toán Waring.

Ngày nay, với tư cách là công cụ quan trọng để nghiên cứu giả thuyết Goldbach, công cụ này đã được các nhà toán học đời sau phát huy rực rỡ.

Ví dụ như Helfgott đang đứng trên bục giảng, chính là một đại thụ trong lý thuyết phương pháp vòng tròn thuộc giới lý thuyết số ngày nay.

"...Nội dung của giả thuyết Goldbach là bất kỳ số chẵn nào lớn hơn 2 đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố, chúng ta tạm gọi đây là giả thuyết a."

"...Vì số lẻ trừ đi số nguyên tố lẻ là một số chẵn, giả thuyết a cho rằng bất kỳ số chẵn nào cũng bằng tổng của hai số nguyên tố, cho nên dùng giả thuyết a có thể suy ra hệ quả là giả thuyết b, bất kỳ số lẻ nào lớn hơn 9 đều có thể viết thành tổng của ba số nguyên tố lẻ."

Nói đến đoạn mở đầu này, Helfgott dừng lại một chút, rồi tiếp tục nói.

"Và 'phương pháp vòng tròn' mà tôi trình bày, chính là chứng minh giả thuyết yếu của giả thuyết Goldbach, tức là giả thuyết b!"

Giả thuyết a thành lập, giả thuyết b nhất định thành lập.

Nhưng ngược lại thì không.

Về phần tại sao, điều này liên quan đến một vấn đề rất thú vị trong toán học logic. Dùng toán học sơ cấp thì khó mà mô tả được, nhưng nếu dùng ngôn ngữ mô tả để giải thích, thì đó chính là tập hợp cấu thành bởi "bất kỳ số lẻ lớn hơn 9 cộng với tổng của số nguyên tố lẻ" không tương đương với tập hợp "bất kỳ số chẵn nào", hơn nữa tất cả các phần tử trong giao tập vô hạn, cũng không thể chứng minh bằng cách vét cạn.

Thực ra nhìn một cách trừu tượng, bất kể là "tập hợp số chẵn" của phương pháp vòng tròn hay "dạng 1+1" của phương pháp sàng, mọi người đều kẻ tám lạng người nửa cân, đều cách cú sút quyết định cuối cùng một bước.

Khoảng cách này có lẽ là cách một con sông, cũng có lẽ là hai ngọn núi nhìn nhau.

Sau phần mở đầu ngắn gọn, Helfgott cũng không nói nhiều, viết một dòng công thức lên bảng trắng.

[...Khi 2n, có (n)=1/2n(n2/n3)n(1-1/(p-1)2)n(1+1/(p-1)2), (1+o(1))]

Khoảnh khắc nhìn thấy dòng công thức này, mắt Lục Chu chợt sáng lên.

Biểu thức này không phải vị lão gia tử tùy tiện viết bừa, mà chính là một trong số rất nhiều biểu thức được hai đại thụ giới lý thuyết số là Hardy và Littlewood đưa ra trong bài báo năm 1922 đó!

Khi nghiên cứu giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, Lục Chu vừa hay đã tra cứu tài liệu đó, thậm chí còn trích dẫn một phần kết luận trong đó.

Cũng chính vì vậy, anh có ấn tượng có thể gọi là sâu sắc với cái này.

Xem ra buổi báo cáo này, có chút thú vị đây.

Ông lão đứng trước bảng trắng không nói một lời, tiếp tục cầm bút lông bảng sạt sạt viết.

Trong hội trường im lặng như tờ.

Không chỉ Lục Chu nghe rất chăm chú, mà ngay cả những đại lão khác cũng đang rất chăm chú lắng nghe.

Ngành nghề có chuyên môn riêng, cho dù là đại thụ, cũng không thể ngay lập tức đi sâu vào lĩnh vực của người khác. Cho nên các bài báo cáo tại hội thảo thường sẽ được công bố trước trên trang web chính thức của hội nghị để mọi người xem trước, viết những câu hỏi chuẩn bị sẵn vào sổ tay.

Nếu buổi báo cáo không giải đáp được câu hỏi của chính mình, thì việc đặt câu hỏi trong phần hỏi đáp mới là tư thế đúng khi nghe báo cáo học tập, chứ không chỉ đơn thuần là đến xem náo nhiệt, vỗ tay mấy cái là coi như tham gia xong.

Hơn bốn mươi phút trôi qua, Helfgott dừng chiếc bút lông bảng trong tay lại, quay người nhìn về phía hội trường.

"Quá trình chứng minh cơ bản là như vậy, nếu có vấn đề gì, bây giờ có thể đặt câu hỏi."

Lục Chu giơ tay lên.

Helfgott và Lục Chu nhìn nhau, gật đầu ra hiệu anh có thể đứng lên phát biểu.

Liếc nhìn sổ tay, Lục Chu đứng dậy, đặt câu hỏi.

"Về công thức do ông liệt kê ở dòng thứ 34, tôi có thắc mắc. Trong phép toán tính =∑a(n)z^n+δ(n) của ông, trực tiếp suy ra mỗi số nguyên n>0. Tôi đoán có lẽ ông đã dùng định lý Cauchy-Goursat hoặc hệ quả của nó là định lý thặng dư. Nhưng làm thế nào để ông phán đoán hàm số f(s) là hàm chỉnh hình?"

Trong hội trường vang lên tiếng bàn tán nhỏ.

Rõ ràng, câu hỏi mà Lục Chu đặt ra đã gãi đúng chỗ ngứa của rất nhiều người.

"Câu hỏi này hỏi rất hay," Helfgott bất ngờ nhìn Lục Chu một cái, quay người viết một dòng công thức lên bảng trắng, sau đó gõ gõ bút lông bảng lên đó, "Đã hiểu chưa?"

Nhìn thấy dòng công thức đó, biểu cảm Lục Chu hơi chợt hiểu ra, gật đầu.

"Đã hiểu, cảm ơn."

Lịch sự gật đầu, Lục Chu ngồi xuống, tiện tay chép dòng công thức bổ sung trên bảng trắng vào sổ tay.

Mặc dù thứ anh nghiên cứu chủ yếu là phương pháp sàng, nhưng phương pháp của ngài Helfgott cũng có tính truyền cảm hứng không nhỏ cho công việc nghiên cứu của anh. Công việc nghiên cứu cái gọi là cũng chính là như thế, hoàn thiện lý thuyết của bản thân trong giao lưu thảo luận, ma sát ra quan điểm mới trong sự va chạm tư duy.

Ngay lúc Lục Chu đang thu dọn sổ tay, có người bên cạnh nhẹ nhàng chọc chọc vào tay áo anh.

"Xin lỗi, có thể hỏi anh một câu hỏi được không?"

Người lên tiếng là một cô bé có làn sóng da hơi tái nhợt, để một mái tóc vàng uốn xoăn nhẹ.

Sở dĩ gọi là cô bé, bởi vì trông cô bé có vẻ tuổi không lớn lắm, chiều cao thấp hơn Lục Chu một chút, đại khái là sinh viên hệ cử nhân của Đại học California tại Berkeley... nếu nói cô bé là nghiên cứu sinh thì dù thế nào Lục Chu cũng tuyệt đối không tin.

Mặc dù phát âm tiếng Anh của cô bé có chút gượng gạo, nhưng giọng rất khẽ, bất ngờ là nghe khá lọt tai.

Không cần biết giọng có lọt tai hay không, đối với Lục Chu mà nói, có người thảo luận vấn đề toán học với anh, chỉ cần không phải là vô lý gây rối, anh chưa bao giờ từ chối cả, thế nên liền rất phóng khoáng nói: "Hỏi đi."

Cô bé chớp chớp mắt, có chút ngượng ngùng chỉ tay lên bảng trắng, nói: "Xin lỗi, cái đó... vừa rồi anh đã hiểu cái gì vậy?"

Nhìn dòng công thức đó, cô hoàn toàn không hiểu gì cả.

“Em đang hỏi biểu thức đó à?” Đại khái đoán được vấn đề cô bé muốn hỏi, Lục Chu rất kiên nhẫn giải thích: “Bởi vì i(n)=∫{f(s)/s^(n+1)}ds=2πian trong dòng công thức đó, đây là một tích phân quỹ đạo kín, cho nên quay trở lại công thức ban đầu, có thể trực tiếp vận dụng định lý thặng dư. Tư duy giảng giải của giáo sư Helfgott có lẽ hơi nhảy cóc, quả thực không dễ hiểu, phải suy nghĩ thêm nhiều.”

Lắng nghe lời giải thích của Lục Chu, cô bé này luống cuống ghi chép lại vào sổ tay.

Từ thủ pháp ghi chép tỉ mỉ đến từng chi tiết của cô, Lục Chu càng khẳng định thêm phỏng đoán của mình, cô bé này đại khái là đang học cử nhân.

Thế mà cử nhân nghe loại bài giảng này, thực sự có thể nghe hiểu sao?

Sợ cô ngại hỏi, Lục Chu tiện miệng hỏi: “Còn thắc mắc gì nữa không?”

"Cảm ơn, không có nữa... Xin lỗi, có thể cho em xin địa chỉ email của anh được không? Em còn rất nhiều câu hỏi muốn hỏi... anh." Vì quá căng thẳng, cô bé trông có vẻ hơi vụng về này đã vô tình cắn phải lưỡi, mặt đỏ bừng lên sạt một cái.

Có thể nhìn ra được, cô không mấy giỏi giao tiếp với người khác.

Bản thân cũng không phải là người đặc biệt giỏi xã giao, Lục Chu ngược lại có thể hiểu được, thế nên cũng không để tâm, tiện miệng nói: "Không sao đâu. Ngoài ra, em không cần lúc nào cũng nói 'xin lỗi'. Tên của anh là Lục Chu, còn tên của em là?"

"Em biết anh tên là Lục Chu, em từng gặp anh ở lễ khai mạc," có lẽ là đột nhiên nhớ ra bản thân vẫn chưa tự giới thiệu tên, cô bé đó ngại ngùng bổ sung thêm một câu, "Em tên là Vera, đang học ở Berkeley... rất có hứng thú với toán học thuần túy, đặc biệt là hướng lý thuyết số."

Vera?

Nghe có vẻ giống tiếng Do Thái, người Nga à?

Lục Chu vô thức liếc mắt nhìn ngực cô, tuy không đến mức phẳng lì như tấm thớt, nhưng quả thực cũng hơi khiêm tốn một chút.

Emmm...

Chắc là không phải nhỉ?

"Mạo muội hỏi một câu, năm nay em bao nhiêu tuổi?"

"17..."

Lục Chu có chút ngạc nhiên nhìn cô: "17 tuổi đã có thể vào Berkeley rồi sao?"

Ở độ tuổi này, anh còn chưa tốt nghiệp cấp ba nữa là.

"Em được tuyển thẳng nhờ huy chương vàng IMO..." Vera ngượng ngùng cười, giọng điệu có chút ngưỡng mộ nói, "Đương nhiên rồi, so với người đã giải quyết được hai giả thuyết toán học như anh thì chẳng đáng nhắc tới..."

Lục Chu ngẩn ra, nói: "...Không, huy chương vàng cuộc thi Toán học Olympic đã rất mạnh rồi, em có thể tự tin hơn một chút, không cần phải tự ti đâu. Thật đáng kinh ngạc, em mới 15 tuổi đã giành được huy chương vàng rồi? Vậy em học cấp ba năm mấy tuổi?"

Đúng lúc này, người đặt câu hỏi cuối cùng phát biểu xong, thấy không còn ai tiếp tục đặt câu hỏi nữa, ngài Helfgott ở trên bục liền tuyên bố buổi báo cáo kết thúc.

"Về việc chứng minh hoàn toàn giả thuyết Goldbach, chúng ta vẫn còn một chặng đường rất dài phải đi."

"Buổi báo cáo của tôi đến đây là kết thúc, cảm ơn mọi người đã đến tham dự!"

Helfgott khẽ gật đầu ra hiệu, đi về phía dưới bục giữa những tràng pháo tay.

Bởi vì bản thân chưa từng tham gia cuộc thi IMO, Lục Chu vẫn khá có hứng thú. Vốn dĩ anh còn định trò chuyện vài câu với cô bé giành được huy chương vàng này, nhưng thấy thời gian không còn sớm nữa, vừa hay anh lại có chút việc phải làm, liền gác chuyện này sang một bên, thu dọn sổ tay, bước ra ngoài hội trường.